Narodil se 4. dubna v Banské Bystrici do rodiny zdravotní sestry a řidiče sanitky. Ani rodiče ani Korčok nevstoupili do komunistické strany. V rodném městě absolvoval ZŠ a první dva ročníky gymnázia. Věnoval se volejbalu a díky tomu přestoupil do Bratislavy do klubu Slávia UK a odmaturoval na bratislavském sportovním Gymnáziu Bilíkova. Sport pro něj byl „únikem ze socialistické reality”.

Vystudoval Ekonomickou univerzitu a v roce 1995 dokončil postgraduální studium na Institutu mezinárodních vztahů Univerzity Komenského v Bratislavě.

Oženil se s manželkou Soňou, se kterou má dva syny, Viktora a Marka. Před sametovou revolucí uvažovali z politických důvodů o emigraci

Hned po vzniku samostatného Slovenska nastoupil na ministerstvo zahraničních věcí. Od té doby působil na vícero diplomatických postech doma i v zahraničí.

Po třech letech skončil na velvyslanectví v Bonnu v Německu, kde pracoval jako 2. tajemník. Mečiarovské Slovensko podle Korčoka vnímali na Západě jako zemi, kde se děly „divné věci”, a která se vzdalovala od integrace do EU a NATO.

Rok působil ve funkci tiskového mluvčího ministerstva zahraničí. Bylo to za éry premiéra Vladimíra Mečiara. Korčok za to později čelil kritice. Svou práci obhajoval tím, že šlo o službu vlasti a že během kariéry zažil celou řadu premiérů.

Vedl slovenskou delegaci pro jednání o vstupu do NATO. Slovenskou cestu do EU i NATO označuje za „trnitou” a za to, co ho „nejvíc formovalo”.

Po čtyřletém mandátu slovenského velvyslance v Berlíně nastoupil na šest let do funkce slovenského stálého představitele při EU.

Výrazně se podílel na přípravě a vedení slovenského předsednictví Rady Evropské unie. Tehdy byl premiérem Robert Fico ze strany Směr.

Z funkce státního tajemníka na ministerstvu zahraničí „povýšil“ a stal se slovenským velvyslancem ve Spojených státech. V Bílém domě předal pověřovací listiny tehdejšímu prezidentovi Donaldu Trumpovi.

Jako nestranický nominant liberální strany Svoboda a solidarita se stal ministrem zahraničních věcí ve vládě Igora Matoviče. Nástup mu ale zkomplikoval začátek pandemie covidu-19, při němž byl ve Spojených státech jako slovenský velvyslanec. Kvůli lockdownu, útlumu letecké dopravy a povinné karanténě po příjezdu na Slovensko zasedl ve vládě až necelé tři týdny po jejím jmenování.

Z funkce ministra na protest proti premiéru Matovičovi odstoupil v březnu 2021. Do úřadu se pak záhy vrátil po výměně Matoviče za premiéra Eduarda Hegera. Po vleklých koaličních krizích pak společně s ministry za SaS podal v září 2022 demisi.

Na konci srpna po dlouhých spekulacích oznámil prezidentskou kandidaturu. „Chci pomoct této zemi, mám na to chuť. Není mi jedno, jakým směrem se tato země v posledním období vydala,“ oznámil.